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单变量函数的极限
极限的定义
普通极限
$$L = lim x → x 0 f ( x ) L=\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}$$
L=
x→x
0
lim
f(x)
左极限
L = lim x → x 0 − f ( x ) L=lim_{x rightarrow x_0^-} {f(x)}
L=
x→x
0
−
lim
f(x)
右极限
L = lim x → x 0 + f ( x ) L=lim_{x rightarrow x_0^+} {f(x)}
L=
x→x
0
+
lim
f(x)
matlab实现方法
L=limit(fun, x, x0) % //普通极限
L=limit(fun, x, x0, ‘left’) % //左极限
L=limit(fun, x, x0, ‘right’) % //右极限
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应用举例
求解极限：
L = lim x → 0 s i n x x L=lim_{x rightarrow 0} {frac{sin x}{x}}
L=
x→0
lim
x
sinx
syms x; f=sin(x)/x; L=limit(f, x, 0)
1
求解极限：
L = lim x → ∞ x ( 1 + a x ) x s i n b x L=lim_{x rightarrow infty} {x(1+frac{a}{x})^x sin frac{b}{x}}
L=
x→∞
lim
x(1+
x
a
)
x
sin
x
b
syms x a b
f = x(1+a/x)^xsin(b/x)
L = limit(f, x, inf)
1
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求解单边极限：
单边极限函数
syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,’right’)
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用下面的语句还可以绘制出( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1)(−0.1,0.1)区间的函数曲线。
x0=-0.1:0.001:0.1;
y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
plot(x0, y0, ‘-‘, [0], [L], ‘o’)
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函数曲线如下：
函数曲线
可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。
L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
1
求函数 t a n t tan ttant 在 π / 2 pi/2π/2 点处的左右极限。
syms t; f=tan(t);
L1=limit(f,t,pi/2,’left’)
L2=limit(f,t,pi/2,’right’)
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求下面序列的极限
序列
syms n positive
f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
F = limit(f,n,inf)
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求下面序列函数的极限
序列函数
syms x n
f = natan(1/(n(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
F = limit(f,n,inf)
1
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多变量函数的极限
matlab实现方法
多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。
假设有二元函数f ( x , y ) f(x,y)f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限
在这里插入图片描述
则可以嵌套使用limit()函数。例如:
L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
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如果x 0 x_0x
0
或y 0 y_0y
0
不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如x → g ( y ) x rightarrow g(y)x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。
假设有二元函数f ( x , y ) f(x,y)f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限
L = lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) L=lim_{(x,y) rightarrow (x_0,y_0) } {f(x,y)}
L=
(x,y)→(x
0
,y
0
)
lim
f(x,y)
理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。
应用举例
试求出二元函数极限值
极限
syms x a; syms y positive;
f = exp(-1/(y^2+x^2))sin(x)^2/x^2(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
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重极限的尝试 ，求解重极限
重极限
syms x y;
f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
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判断重极限是否存在
在这里插入图片描述
证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿y = k x y=kxy=kx趋近。
syms r x y
f=x*y/(x^2+y^2);
L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
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