前些天在老码农群里看到一个数学 Puzzle，让我联想到另一个红眼睛蓝眼睛的问题，感觉都涉及到一点递归和博弈的意思，仔细思考一下有些趣味，分享给大家。
Sum and Product
随机选择两个数字，都是小于 100 的正整数。Sandy 被告知数字的总和，而 Peter 被告知数字的乘积，假设两个人都是足够理智的情况下，Sandy 和 Peter 之间发生了这个对话：
Peter: I don't know the numbers. Sandy: I don't know the numbers. Peter: I don't know the numbers. Sandy: I don't know the numbers. Peter: I don't know the numbers. Sandy: I don't know the numbers. Peter: I don't know the numbers. Sandy: I don't know the numbers. Peter: I don't know the numbers. Sandy: I don't know the numbers. Peter: I don't know the numbers. Sandy: I don't know the numbers. Peter: I don't know the numbers. Sandy: I don't know the numbers. Peter: I do know the numbers.那么这两个数字是多少？
先自己别看屏幕想个几分钟?
注意前提是两个人都聪明和理智，知道如何通过目前的情况去推算。
从 1 到 100 两两组合一共有 4590 对数字。Sandy 说我不知道，其实里面隐含着一些信息，因为他知道两个数字之和，所以他说我不知道意味着肯定不是 1 + 1, 1 + 2 … 这种组合，因为这些组合的和在这 4590 对数字中是唯一的。因此 Peter 可以根据 Sandy 的信息排除掉这些组合。
类似的 Peter 每次说我不知道的情况下也可以排除一些组合，依次类推如果经过七轮之后，Peter 说我知道了那个组合，也就有了答案。
通过下面这个 Python 程序更容易理解，源处 Peter And Sandy ：
from collections import defaultdict# build pairspairs = []for i in range(1, 100): for j in range(i, 100): pairs.append((i, j))def singles_operation(f): results = defaultdict(list) for a, b in pairs: results[f(a, b)].append((a, b)) singles = [] for (k, value) in results.items(): # We want to return only the product/sum with one result because if # peter/sandy have this product/sum, then they'll know the two numbers if len(value) == 1: singles.extend(value) # Sorted for readability return sorted(singles, key=lambda x: x[0])def remove_products(): singles = singles_operation(lambda x, y: x * y) print('peter removed', singles) for s in singles: pairs.remove(s)def remove_sums(): singles = singles_operation(lambda x, y: x + y) print('sandy removed', singles) for s in singles: pairs.remove(s)for i in range(7): remove_products() remove_sums()# This is the result because it returns the only pair with a product# not created by anything else left in the list.print('result', singles_operation(lambda x, y: x * y))红眼睛、蓝眼睛悖论
此问题最早据说是澳大利亚的华裔数学神童陶哲轩在网上贴出来的：
一个岛上有 100 个人，其中有 5 个红眼睛，95 个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。
- 他们不能照镜子，不能看自己眼睛的颜色。
- 他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。
- 一旦有人知道了自己的眼睛颜色，他就必须在当天夜里自杀。
注：虽然题设了有 5 个红眼睛，但岛民是不知道具体数字的。
某天，有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩，所以他在和全岛人一起狂欢的时候，不留神就说了一句话：你们这里有红眼睛的人。
最后的问题是：假设这个岛上的人足够聪明，每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么？
这个问题不简单，这个游客说的话看起来没提供什么新的信息，但却能导致诡异的结果，因为 “大家都知道”和“大家知道大家都知道”是不一样的。
李永乐的这个讲解非常好，感谢 SedationH 在评论区推荐给我：
你真的看懂《皇帝的新装》了吗？心知肚明和说出来有啥区别？李永乐老师讲“呐喊”的力量
本文转自： http://catcoding.me/p/two-math-puzzles/
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